MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS (MEF)

            Segundo Araujo (2017), “os métodos numéricos são aplicações de algoritmos pelas quais é possível formular e resolver problemas matemáticos usando operações aritméticas menos complexas. Estes também são conhecidos como métodos indiretos”. O principal foco da análise numérica é resolver problemas complexos com soluções aproximadas e mais simples.

O Método dos Elementos Finitos (MEF) é um método numérico com a finalidade de analisar e, consequentemente, melhorar a qualidade de produtos e projetos. Muitos problemas de engenharia podem ser descritos por equações diferenciais que podem ser resolvidas pelo MEF, desde problemas estruturais, até problemas das áreas térmica e eletromagnética. “É um método numérico que ultrapassa os limites dos problemas que se resolvem com soluções analíticas, sendo adequado para tratar problemas com geometrias, carregamentos e propriedades de materiais complexos” (ARAUJO, 2017).

Como surgiu o MEF?

    A análise matemática do MEF surgiu antes da época que não existiam recursos de cálculo, sua utilização era ineficaz e dificultosa. Somente quando surgiram os primeiros computadores, isso em meados de 1950, é que o método se tornou relativamente mais disponível e utilizável. 
    Em 1909, o matemático suíço Walter Ritz foi o primeiro a utilizar o método dos elementos finitos (na época, essa nomenclatura ainda não era usual), para determinar soluções de problemas relacionados à mecânica dos sólidos. Richard Courant, alguns anos depois, estendeu os estudos de Walter Ritz, sendo o primeiro a utilizar a nomenclatura “Método dos Elementos Finitos” e, em 1943, descreveu a forma computacional de resolução do método. Próximo a 1950, Ray William Clough, professor americano de engenharia estrutural, juntamente com outros pesquisadores, tirou o MEF da pesquisa e trouxe-o para a prática. Clough criou um programa computacional capaz de calcular a estrutura de aeronaves utilizando esse método. A NASA, em 1964, sentiu necessidade do desenvolvimento de softwares de cálculo estrutural aplicados a estruturas em geral, não somente a necessidades específicas e, então, em parceria com a empresa MacNeal-Schwendler Corporation, desenvolveu o software GPSA (General Purpose Structural Analysis), rebatizado nos anos seguintes de NASTRAN (Nasa Structure Analysis). Terminada a parceria com a NASA, a McNeal-Schwedler desenvolveu o MSC Nastran, que até hoje é um dos softwares de MEF mais populares, amplamente utilizado no desenvolvimento de aviões e carros. Alguns anos depois, John Swanson trabalhou com MEF num serviço para o governo dos EUA que utilizava reação nuclear em foguetes. Ao fim do serviço para o governo, Swanson criou a empresa Ansys, que até os dias atuais é uma forte empresa no ramo de MEF. A linha do tempo do surgimento do MEF pode ser observada abaixo:

O que é o MEF – Método de Elementos Finitos?

    Aplicado em diversas áreas da engenharia, desde problemas acústicos, térmicos, eletromagnéticos e estruturais, o método de análise por elementos finitos é utilizado para resolver equações diferenciais, discretizando um sistema complexo em vários elementos menores e simplificados. A discretização auxilia no fornecimento de dados em relação à tensão, deformação e deslocamento de uma estrutura/equipamento/produto sob análise, contribuindo para a identificação de pontos de concentração de tensão, a compreensão do comportamento da estrutura perante carregamentos e a otimização da solução de problemas. Além disso, o processo de discretização contribui para a solução em computadores com auxílio da programação, tornando esse método ainda mais útil e popular para diversas as empresas.
    De forma geral, o MEF pode ser definido como um método matemático, no qual um meio contínuo é subdividido em elementos que mantém as propriedades do meio que os originou.  Esse elementos são descritos por equações diferenciais as quais são solucionadas por modelos matemáticos para, assim, obter os resultados desejados. 
     O MEF, além de ser utilizado para resolução de problemas físicos nas mais diferentes aplicações, confere robustez e estabilidade, uma vez que é suportado por teorias matemáticas. A figura abaixo mostra a aplicação do método em três distintas situações, comprovando sua versatilidade.

MEF aplicado a uma turbina, um flap e um automóvel, respectivamente, da esquerda para a direita.

      Esse método propõe a substituição de infinitas variáveis desconhecidas por uma quantidade limitada de elementos com comportamentos bem definidos. Os elementos são ligados entre si por pontos, denominados “nós”. A junção dos elementos e dos nós forma o que é conhecido como “malha”. A ideia do MEF é obter resultados aproximados dos problemas propostos, sendo que quanto menor forem os elementos e maior for a quantidade desses, mais precisa será a conclusão das análises realizadas.
           Conhecendo-se a rigidez de cada elemento que compõe a estrutura e a movimentação de cada nó (chamada de GDL – Graus de Liberdade), constrói-se uma matriz de rigidez da estrutura complexa. A matriz global pode ser representada pela matriz abaixo, onde “n” é o número de GDL. 

O número de nós da estrutura indica a quantidade de incógnitas que o problema terá, dando origem a um sistema equacional do tipo 

[F]*[K]=[U]

Onde [K] é uma matriz de ordem “n” e [F] e [U] são vetores com “m” linhas, sendo “m” o número de graus de liberdade. 

Passo a passo simplificado para implantação do MEF.

    A seguir, seguem as etapas básicas para implementar o MEF na solução de um problema. 

  • Discretizar o problema a ser resolvido: essa etapa consiste em dividir o problema proposto em elementos finitos e determinar a posição dos nós no mesmo. Os elementos podem ser de um tipo ou de tipos variados (por exemplo: elementos quadrados com elementos triangulares), desde que adequados ao tipo de solução e problema em questão.

  • Formular o elemento: consiste em escolher a função aproximadora que melhor representará a solução dentro de cada elemento, sendo a mais utilizada a função polinomial.     

  • Montar o sistema matricial para cada elemento: a montagem deve seguir o padrão

[f]*[k]=[u]

Onde k é a matriz rigidez, u é o vetor de deslocamentos e f é o vetor força. Este passo também pode ser chamado de montagem de matriz de rigidez local.

  • Montar a matriz global: consiste em unir a matriz de rigidez local para formar a equação global conforme a seguir:

[F]*[K]=[U]  

  • Aplicar as condições de contorno na matriz global.

  • Solucionar o sistema equacional: consiste em resolver o sistema de equações lineares global através de métodos diretos ou iterativos.    

  • Processar as informações: terminados os cálculos, deve-se organizar as informações em tabelas, gráficos, etc. para facilitar sua interpretação. 

 

Referência:

ARAUJO, Eduardo. Métodos numéricos para simulação na engenharia. Blog Esss, 2017. Disponível em: <https://www.esss.co/blog/metodos-numericos-para-simulacao-na-engenharia/>. Acesso em: 09 dez. 2019.

     

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